结构方程建模中的「巢套模型比较」
[p=30, 2, left][font=SimSun]转自：[url]http://bbs.chinahrd.net/space/viewspacepost.aspx?postid=4464&[/url];spaceid=2477[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]我们还是用语文能力这个数据，因为用了第[/font]5[font=SimSun]班和第[/font]7[font=SimSun]班的同学来研究。所以潜变量是「[/font][font=SimSun]语文能力[/font][font=SimSun]」（[/font]Verbal5 [font=SimSun]和[/font]Verbal7[font=SimSun]），两个项目指标（[/font]indicators[font=SimSun]）还是「[/font][font=SimSun]阅读能力[/font][font=SimSun]」（[/font]Reading5 [font=SimSun]和[/font]Reading7[font=SimSun]）和「[/font][font=SimSun]写作能力[/font][font=SimSun]」（[/font]Writing5 [font=SimSun]和[/font]Writing7[font=SimSun]）。我们数学的模型是：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left]Reading5 =
λ1[font=SimSun]（[/font]Verbal5[font=SimSun]）[/font][font=Arial] + [/font]ε1
[/p][p=30, 2, left]Writing5[font=Arial]
[/font]=
λ2[font=SimSun]（[/font]Verbal5[font=SimSun]）[/font][font=Arial] + [/font]ε2
[/p][p=30, 2, left]Reading7 =
λ3[font=SimSun]（[/font]Verbal7[font=SimSun]）[/font][font=Arial] + [/font]ε3
[/p][p=30, 2, left]Writing7[font=Arial]
[/font]=
λ4[font=SimSun]（[/font]Verbal7[font=SimSun]）[/font][font=Arial] + [/font]ε4
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]上面这个双因子的模型的图是这样的：[/font][/p][p=30, 2, left][font=SimSun][img]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/14/3049756564397.png[/img][/font][/p]
[p=30, 2, left][font=SimSun]这个双因子模型的[/font]LISREL[font=SimSun]程式是这样写的：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Group: Boys Academic (BA) Reading andwriting[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Observed Variables: Reading5 Writing5Reading7 Writing7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Covariance Matrix[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]281.349[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]184.219
182.821[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]216.739
171.699
283.289[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]198.376
153.201
208.837
246.069[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Sample Size: 373[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Latent Variable: Verbal5[/size][size=9pt]
Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]Relationships:[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]
Reading5 = Verbal5[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]
Writing5 = Verbal5[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]
Reading7 = Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]
Writing7 = Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=9pt]End of problem[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]解释：[/font][/p][p=30, 2, left]1.
[font=SimSun]我们有四个「观察变量」（[/font]Observed Variables[font=SimSun]）[/font]reading5[font=SimSun]、[/font]writing5[font=SimSun]、[/font]reading7 [font=SimSun]和[/font]
writing7[font=SimSun]。[/font][/p][p=30, 2, left]2.
[font=SimSun]我们有两个潜变量，[/font]verbal5 [font=SimSun]和[/font]
verbal7[font=SimSun]。就是第[/font]5[font=SimSun]班和高他们两班的第[/font]7[font=SimSun]班的同学的语文能力。[/font][/p][p=30, 2, left]3.
[font=SimSun]这里[/font]
[font=SimSun]Verbal5 [/font][font=SimSun]和 [/font][font=SimSun]Verbal7 [/font][font=SimSun]前面都没有“[/font][font=SimSun]1[/font][font=SimSun]”。这代表我没有用 [/font][font=SimSun]Reading5 [/font][font=SimSun]和 [/font][font=SimSun]Reading7 [/font][font=SimSun]做为[/font][font=SimSun]「比例系数」和[/font][font=SimSun]「标度」（[/font][font=SimSun]scaling[/font][font=SimSun]）。[/font][font=SimSun]LISREL[/font][font=SimSun]的程序是如果没有「标度」的变量，潜变量的方差就会假设是[/font][font=SimSun]1.0[/font][font=SimSun]作为「标度」的方法。[/font][/p][p=30, 2, left]4.
Writing5 [font=SimSun]和[/font]writing7 [font=SimSun]前面也没有“（[/font]1[font=SimSun]）”。所以也没有「起始值」。其实。就算没有「起始值」，系统也可以估计参数的，只是比较慢一点而已。[/font][/p][p=30, 2, left]5.
[font=SimSun]以下是[/font] LISREL [font=SimSun]的结果：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
[/size][size=10pt]
[/size][size=10pt]Goodness of Fit Statistics[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Degrees of Freedom = 1[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Minimum Fit Function Chi-Square =0.86 (P = 0.35)[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Normal Theory Weighted LeastSquares Chi-Square = 0.86 (P = 0.35)[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Estimated Non-centrality Parameter (NCP) = 0.0[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
90 Percent Confidence Interval for NCP = (0.0 ; 6.60)[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]结果发现，如果我们定义两个潜变量的话，模型的拟合度很好。自由度（[/font]d.f.[font=SimSun]）是[/font]1[font=SimSun]，模型的卡方（[/font]χ2[font=SimSun]）是[/font]
. 86[font=SimSun]。[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]现在我们做一个新的模型。是四个「观察变量」背后只有一个潜变量。新的[/font]LISREL [font=SimSun]程式变成：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Group: Boys Academic (BA) Reading andwriting[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Observed Variables: Reading5 Writing5Reading7 Writing7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Covariance Matrix[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]281.349[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]184.219
182.821[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]216.739
171.699
283.289[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]198.376
153.201
208.837
246.069[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Sample Size: 373[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Latent Variable:Verbal5
Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Relationships:[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Reading5 = Verbal5[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Writing5 = Verbal5[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Reading7 = Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Writing7 = Verbal7[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]Let the covariance of Verbal5 andVerbal7 be .9999[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]End of problem[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]这个程式跟上面一个完全一样，唯一差别是多了一句[/font]
[size=10pt]Let the covariance of Verbal5 andVerbal7 be .9999[/size][font=SimSun][size=10pt]。[/size][/font][font=SimSun]在程式中要求[/font] Verbal5 [font=SimSun]和[/font] Verbal7 [font=SimSun]的协方差是[/font]
.9999[font=SimSun]是什么意思呢？因为[/font]
Verbal5 [font=SimSun]和[/font] Verbal7 [font=SimSun]的方差都是[/font]1[font=SimSun]（还记得吗？我们没有做「标度」）。协方差是[/font]
.9999 [font=SimSun]就代表是相关系数[/font]=1[font=SimSun]了。当[/font]Verbal5 [font=SimSun]和[/font] Verbal7 [font=SimSun]完全相关，就代表只有一个潜变量了。以下是[/font] LISREL [font=SimSun]的结果：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
[/size][size=10pt]
[/size][size=10pt]
Goodness of Fit Statistics[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Degrees of Freedom = 2[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Minimum Fit Function Chi-Square= 23.78 (P = 0.00)[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Normal Theory Weighted LeastSquares Chi-Square = 25.29 (P = 0.00)[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
Estimated Non-centrality Parameter (NCP) =23.29[/size]
[/p][p=30, 2, left][size=10pt]
90 Percent Confidence Intervalfor NCP = (10.63 ; 43.39)[/size]
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]结果发现，如果我们定义只有一个潜变量的话，模型的拟合度差很多。自由度（[/font]d.f.[font=SimSun]）是[/font]2[font=SimSun]，模型的卡方（[/font]χ2[font=SimSun]）是[/font] 23.78[font=SimSun]。为什么这个模型的自由度是[/font]2[font=SimSun]呢？原因是比起上一个双因子模型，这个单因子模型少猜了一个因子，所以多了一个自由度。[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]这两个模型（单、双因子模型）是「巢套模型」（[/font]nested model[font=SimSun]），所以两个模型的卡方可以相减，减出来的差还是一个卡方分配。[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]模型[/font]1
[font=SimSun]双因子模型[/font]
[font=SimSun]自由度[/font]=1
[font=SimSun]模型卡方[/font]=.86[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]模型[/font]2
[font=SimSun]单因子模型[/font]
[font=SimSun]自由度[/font]=2
[font=SimSun]模型卡方[/font]=23.78[/p][p=30, 2, left]-------
---------------
-----------------
---------------------[/p][p=30, 2, left](2 – 1)
[font=SimSun]巢套模型差[/font]
[font=SimSun]自由度的差[/font]=1
[font=SimSun]模型卡方差[/font]=22.92**[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]我们查卡方表得知自由度[/font]=1[font=SimSun]；卡方[/font]=22.92 [font=SimSun]的机会[/font]<.05[font=SimSun]。所以「模型[/font]1[font=SimSun]」比「模型[/font]2[font=SimSun]」“显著”地好。第[/font]5[font=SimSun]班的语文能力（[/font]Verbal5[font=SimSun]）和高他们两班的第[/font]7[font=SimSun]班的同学的语文能力（[/font]Verbal7[font=SimSun]）不是一模一样的潜变量。[/font][/p]
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