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semchina 发表于 2011-4-9 14:46

结构方程建模中的「参数估计」

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[p=30, 2, left][font=SimSun]假设我们有三个观察变量[/font] a, b [font=SimSun]与[/font]
c[font=SimSun]。如果它们的「方差与协方差矩阵」如下：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun][img]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/15/4074677342449.png[/img][/font][/p]
[p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]所以[/font]σ2a=1[font=SimSun]，[/font]σ2b=1[font=SimSun]，[/font]σ2c=1[font=SimSun]，[/font]σab=.45[font=SimSun]，[/font]σac=.25[font=SimSun]，[/font]σbc=.35[font=SimSun]。因为[/font]a, b [font=SimSun]与[/font]
c[font=SimSun]的方差都是[/font]1[font=SimSun]，所以[/font]σab=rab=.45[font=SimSun]，[/font]σac= rac=.25[font=SimSun]，[/font]σbc=rbc=.35[font=SimSun]。又因为[/font]a[font=SimSun]是通过[/font]b[font=SimSun]来影响[/font]c[font=SimSun]的，数学上[/font]a[font=SimSun]对[/font]c[font=SimSun]的影响：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left]b = rab a
(1)[/p][p=30, 2, left]c = rbc b
(2)[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]把（[/font]1[font=SimSun]）代进（[/font]2[font=SimSun]），我们得到：[/font][/p][p=30, 2, left]c = rbc [font=SimSun]（[/font]raba[font=SimSun]）[/font][/p][p=30, 2, left]c = rab rbc a[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left]var(a) = var(a)[/p][p=30, 2, left]var(b) = (rab)2var(a)[/p][p=30, 2, left]var(c) = (rab)2(rbc)2 var(a)[/p][p=30, 2, left]cov(a,b) = cov(a, rab a)= rab var(a)[/p][p=30, 2, left]cov(a,c) = cov(a, rab rbca) = rab rbc var(a)[/p][p=30, 2, left]cov(b,c) = cov(rab a, rabrbc a) = r2ab rbc var(a)
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]如果[/font] var(a)[font=SimSun]的估计是[/font]1[font=SimSun]，那么：[/font][/p][p=30, 2, left]var(a) = 1[/p][p=30, 2, left]var(b) = (rab)2= (.45)2 = .20[/p][p=30, 2, left]var(c) = (rab)2(rbc)2 = (.45)2 (.25)2 = .02[/p][p=30, 2, left]cov(a,b) = cov(a, rab a)= rab = .45[/p][p=30, 2, left]cov(a,c) = cov(a, rbc raba) = rab rbc = (.45) (.25) = .16[/p][p=30, 2, left]cov(b,c) = cov(rab a, rbcrab a) = r2ab rbc =
(.45)2(.25) = .07
[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]我们把这个估计的过程和结果表列如下：[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun][img=310,73]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/15/4074869373488.png[/img][/font][/p][p=30, 2, left]

[/p][p=30, 2, left]
[/p][p=30, 2, left][font=SimSun]「观察值」是我们观察的「方差与协方差值」，「估计值」是我们用上面的方程估计出来的「方差与协方差值」。我们怎么知道这两组「方差与协方差值」（观察值[/font] vs [font=SimSun]估计值）有多相近呢？我们暂时用一个简单容易明白的方法，就是把“每一个”“估计”出来的「方差与协方差」与它们对应的“观察的”[/font]
[font=SimSun]「方差与协方差」相减。为了怕正负相消，我们再拿他们的平方。最后，我们把所有的“误差”加起来，作为这一组“估计”的「方差与协方差」与“观察”的「方差与协方差」有多相近。举例，[/font]a [font=SimSun]与[/font]
c [font=SimSun]原来的协方差是[/font].25[font=SimSun]，现在用上面的方程估计出来的协方差是[/font].16[font=SimSun]，二数的差是（[/font].25-.16[font=SimSun]）[/font]=.09[font=SimSun]，平方后（[/font].09[font=SimSun]）[/font]2=.01[font=SimSun]，这个叫做“误差”。把[/font]6[font=SimSun]个「方差与协方差」项的“误差”加起来是[/font]1.67[font=SimSun]，这是一组估计的结果。同样地，我们可以把[/font]a[font=SimSun]的方差猜成[/font]1.1[font=SimSun]，那么“总误差”就变成[/font]1.6422[font=SimSun]。计算机可以帮助我们尝试不同估计的组合。在这个例子，最低的“误差”是[/font]1.6364[font=SimSun]。估计出来的[/font]a,b,c[font=SimSun]的方差为[/font]1.2, .24[font=SimSun]和[/font].03[font=SimSun]，协方差为[/font].54,.19[font=SimSun]和[/font].09[font=SimSun]。这个最低的“误差”概念上就等同于我们讲的「拟合度」了。[/font][/p][p=30, 2, left]
[/p][img]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/15/4075049847268.png[/img]
[p=30, 2, left][font=SimSun]当然，上面的例子是极其简化。而且，误差的定义也是一个比喻。但是，我希望透过这个例子，大家可以概念上了解一下「结构方程建模」的运作。因而帮助大家了解里面的概念。[/font][/p]

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