结构方程建模中模型的可识别性
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[p=30, 2, left][font=SimSun]上面这个模型有[/font]4[font=SimSun]个项目，分别反映了[/font]2[font=SimSun]个因子（潜变量）。由上图与它对应的关于[/font]x1[font=SimSun]到[/font]x4[font=SimSun]的公式中（公式[/font]1[font=SimSun]到公式[/font]4[font=SimSun]），我们可以推导出[/font]x1[font=SimSun]到[/font]x4[font=SimSun]的方差，与[/font]x1[font=SimSun]到[/font]x4[font=SimSun]的[/font]6[font=SimSun]对协方差（共变）（公式[/font]5[font=SimSun]到公式[/font]14[font=SimSun]）。基于这[/font]4[font=SimSun]个可见的项目，我们可以知道这[/font]4[font=SimSun]个方差和[/font]6[font=SimSun]对协方差的数值。所以方程（[/font]5[font=SimSun]）到（[/font]14[font=SimSun]）里等号左边的东西是可知的，但是右边的[/font]λ[font=SimSun]和[/font]σ2ε[font=SimSun]都是不知道的。这里我们有[/font]10[font=SimSun]条方程，可是一共有[/font]12[font=SimSun]个未知数（[/font]λ1[font=SimSun]到[/font]λ8[font=SimSun]和[/font]σ2ε1[font=SimSun]到[/font]σ2ε4[font=SimSun]）。一般代数的知识告诉我们方程的数目起码要等如未知数的数目，才有可能得到一组未知数的唯一答案。换句话来说，上面的[/font]10[font=SimSun]条方程（[/font]10[font=SimSun]个方差和协方差值）不可以帮助我们求得[/font]12[font=SimSun]个未知数的答案。这样的结构方程模型就叫做「不可识别」（[/font]under-identified[font=SimSun]）的模型。简单的来讲，凡是总方差和协方差的数目，少于要估计的参数的数目的，这些结构方程模型都是「不可识别」的模型。其实「总方差和协方差的数目」减去「要估计的参数的数目」，在结构方程建模里就是模型的「自由度」（[/font]degrees of freedom[font=SimSun]）。凡是「自由度」越高的模型，我们就有越多的资料（总方差和协方差的数目）给我们却估计不知道的东西（要估计的参数）。[/font][/p][p=30, 2, left]
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[p=30, 2, left][font=SimSun]我们从代数里面也知道，就算我们有三条方程，要去解两个变量（方程数大于变量数），也不一定可以求得这两个变量的解的。比如：[/font][/p][img]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/07/20676716406483.jpg[/img]
[p=30, 2, left][font=SimSun]这三条方程是「线性相关」（[/font]linear dependent[font=SimSun]）的，虽然有三条方程，其实只是一条，所以根本不可以求得一组的[/font]x[font=SimSun]与[/font]y[font=SimSun]的解。甚至不是「线性相关」的方程，也可能求不到答案的。比如[/font]:[/p][img]http://bbs.chinahrd.net/space/upload/2008/09/07/20676917502210.jpg[/img]
[p=30, 2, left][font=SimSun]这一组方程根本不可能有答案。因为由（[/font]1[font=SimSun]）和（[/font]2[font=SimSun]），我们知道[/font]x=3[font=SimSun]；[/font]y=1[font=SimSun]。但是这一组的[/font]x[font=SimSun]与[/font]y[font=SimSun]值在方程（[/font]3[font=SimSun]）根本不成立。所以，这三条方程没有一组唯一的[/font]x[font=SimSun]与[/font]y[font=SimSun]的答案。[/font][/p]
[p=30, 2, left][font=SimSun]在结构方程建模里，我们是基于一个模型（例如图一），来建构一组结构方程（方程[/font]1[font=SimSun]到[/font]4[font=SimSun]）。然后，基于这一组方程，推导所有变量的方差和协方差关系（方程[/font]5[font=SimSun]到[/font]14[font=SimSun]等号左边的变量）。然后，利用这一组已知的方差和协方差关系来估计我们模型中的参数（方程[/font]5[font=SimSun]到[/font]14[font=SimSun]等号右边的未知数）。如果根据这一组方程，可以求得参数的解（或估计），这个模型就是「可识别」的模型。相反，如果根据这一组方程，根本不可能求得参数的解，这个模型就是「不可识别」的模型。以我所知，除了上面讲的「自由度」大于[/font]0[font=SimSun]是一个「识别」的必需的条件外，基于每个模型都不一样，很难找出「识别」的一个一般的充分条件。有位朋友介绍给我香港中文大学候杰泰教授的关于结构方程建模的书，是一本蛮不错的中文的结构方程建模的书。里面讲了一点点「识别」的规则，大家可以用来参考。[/font][/p]
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